Legi de compozitie bac - Matematic€¦ · > p ] } u } Ì ] ] o µ î ì í ð r î ì í ò e e e q dq e q e e úl dvwiho vh ghwhuplq lphgldw u vsxqvxo [[[[[ d [ e e úl d [ e e - [PDF Document] (2024)

Legi de compoziţie Bacalaureat 2014-2016

Structuri algebrice

1. Monoid Fie (M,*), MxMM, (x,y)x*y, M-nevidã. Axiomele monoidului: M1. (x*y)*z = x*(y*z) x,y,zM (asociativitatea); M2. eM astfel încât x*e = e*x = x, xM (e element neutru); dacã M3. x*y = y*x, x,yM monidul este comutativ. Ex: 1. (N,+), (N,) sunt monoizi comutativi; 2. (F(E),o) monoid necomutativ (F(E) este mulţimea funcţiilor f:EE, E – nevidã, o – compunerea funcţiilor). 2. Grup Fie (G,*), GxGG, (x,y)x*y, G-nevidã. Axiomele grupului: G1. (x*y)*z = x*(y*z), x,y,zG(asociativitatea); G2. eG astfel încât x*e = e*x = x, xG (e element neutru); G3. xG x’G astfel încât x’*x = x*x’ = e (x’ simetricul lui x); dacã G4. x*y = y*x, x,yG grupul este comutativ (sau abelian). Ex: 1. (Z,+), (Q,+), (R,+), (C,+) – grupuri comutative; 2. (Rn,) – grupul resturilor modulo n, comutativ; 3. (Mn(Z),+) – grupul matricilor pãtrate de ordin n cu elemente din Z; 4. (K, o) – grupul lui Klein (al simetriilor faţã de sistemul de coordonate),

comutativ; 5. (n, o) – grupul simetric de grad n (al permutãrilor de n elemente) nu este comutativ; Definiţia 2.1. Fie (G,*) grup, HG, H este subgrup dacã x,yH x*yH şi xH x’H (x’ este simetricul lui x în raport cu operaţia *); Fie grupurile (G1,), (G2,): Definiţia 2.2. f:G1G2 se numeşte morfism de grupuri dacã f(xy)=f(x)f(y), x,yG1. Definiţia 2.3. f:G1G2 se numeşte izomorfism de grupuri dacã f este bijectivã şi f(xy)=f(x)f(y), x,yG1. Definiţia 2.4. f:G1G2 se numeşte automorfism (endomorfism) al grupului G1, dacã f este un izomorfism (morfism). 3. Inel Fie (A,+,), AxAA, (x,y)x+y şi AxAA, (x,y)xy, A nevidã; Definiţia 3.1. (A,+,) este inel dacã: G. (A,+) este grup abelian; M. (A,) este monoid şi D. este distributivã faţã de +: x(y+z) = xy + yz (y+z)x = yx + yz, x,y,zA

Legi de compoziţie Bacalaureat 2014-2016

dacã C. xy = yx x,yA, inelul este comutativ. Exemple de inele: 1. (Z,+,) – inelul numerelor întregi; 2. (Z[i],+, ) – inelul întregilor lui Gauss, Z[i] = {z = a + bia,bZ} 3. (Rn,,) – inelul resturilor modulo n; 4. (Mn(A),+,) – inelul matricelor pãtratice (cu elemente din inelul A); 5. (Zn,+,) – inelul claselor de resturi modulo n.

Fie inelele (A,,*) şi (A’,,o): Definiţia 3.1. f:AA’ se numeşte izomorfism de inele dacã f este bijectivã şi f(xy)

= f(x)f(y), f(x*y) = f(x)of(y), x,yA. Definiţia 3.2. (A,+,) este inel fãrã divizori ai lui zero dacã x0, y0 implicã xy0. Definiţia 3.3. Un inel comutativ cu cel puţin douã elemente şi fãrã divizori ai lui

zero se numeşte domeniu integritate. Definiţia 3.4. Dacã (A,+,) este inel, atunci (A[X],+ ,) este inelul comutativ al

polinoamelor cu coeficienţi în A. fA[X], f = a0 + a1X + a2X2 + … + anXn este forma algebricã a unui polinom de

nedeterminatã X cu coeficienţi în A: - dacã an0, grad f = n (an – coeficient dominant); - dacã a0 = a1 = … = an, f = 0 (polinom nul), grad 0 = -.

Proprietãţi: 1. grad (f+g) max{grad f, grad g}; 2. grad fg grad f + grad g.

Teoremã. Dacã A este domeniu de integritate atunci A[X] este domeniu de integritate şi grad fg = grad f + grad g, f,gA[X]. 4. Corp Fie (K,+,), KxKK, (x,y)x+y şi KxKk, (x,y)xy, K – nevidã. Definiţia 4.1. (K,+,) este corp dacã (K,+,) este inel, 01 şi xK, x0 x-1K, astfel încât xx-1 = x-1 x = 1. Dacã xy = yx, x,yK, corpul este comutativ. Exemple de corpuri: 1. (Q,+,) – corpul numerelor raţionale; 2. (R,+, ) – corpul numerelor reale; 3. (C,+, ) – corpul numerelor complexe;

4. (Q( d ),+,) – corpul numerelor pãtratice (dZ, d – liber de pãtrate); 5. (Zp,+, ) – corpul claselor de resturi modulo p (pN*, p >1, p – numãr prim).

Definiţia 4.2. Fie corpurile (K,,*) şi (K’,,o), f:KK’ este izomorfism de corpuri dacã f este bijectivã, f(xy) = f(x) f(y), f(x*y) = f(x) o f(y) x,yR.

Legi de compoziţie Bacalaureat 2014-2016

Caz general Fie pe R operaţia x y=axy-abx-aby+b(ab+1), x,y R. Se cere:

1. Să se arate că, x,y R x y=a(x-b)(y-b)+b; 2. Să se arate că f :RR, f(t)=a(t-b), este funcţie bijectivă care verifică totodată

f(x y)=f(x) f(y), x,y R; 3. În cazul alegerii a > 0 considerând H = (b;+ ), respectiv în cazul alegerii a< 0

considerând H =(- ;b), să se arate că, x,y H, are loc x y H; 4. În cazul alegerii a > 0 considerând H = (b;+ ), respectiv în cazul alegerii a< 0

considerând H =(- ;b), să se arate că f :HR+* , f(t)=a(t-b), este izomorfism de la

(H; ) la (R+* ; ) ;

5. Să se arate că, x,y R, are loc x y = y x ; 6. Să se arate că x,y Q\ Z încât x y Z; 7. Să se arate că x,y R\ Q încât x y Z; 8. Să se arate că x,y,z R, are loc ( x y ) z = x ( y z ) ; 9. Să se arate că e R încât, x R, verifică x e = e x = x ;

10. Să se arate că, x R\{ b }, x' R\{ b } încât x x'= x' x= 1

a+ b;

11. În cazul alegerii a > 0, considerând H = (b;+ ), respectiv în cazul alegerii a<0, considerând H=(- ;b), să se determine ce fel de structură este (H, );

12. Să se rezolve ecuaţia 1

x b x a A B Ca

, x (0,+ ), unde A="an"-b-c,

B="an"-b+c, C=ac2+b, c Z; 13. Să se arate că R încât x R verifică x = x = ; 14. Să se determine valoarea expresiei

E=(-"an") (-"an"+1) ... (-2) (-1) 0 1 2 ... ("an"-1) ("an"); 15. Să se arate că, x,y,z R, x y z=a2(x-b)(y-b)(z-b)+b; 16. Să se rezolve în R ecuaţia ("an"x2-x+b) (x2-"an"x+b)=b; 17. Să se rezolve în R ecuaţia (b-|b|+dx) (logdx) (b-1+Cx

”an”)=b, d N, d 2;

18. Să se arate că 1...nn

de nori

A A A a A b b

, n N, A fiind un număr real liber

ales, spre exemplu A = ”an”; 19. Să se determine cel mai mic număr n N* cu proprietatea (b+1) (b+2) (b+3) ... n

"an"; 20. Să se rezolve în R ecuaţia x x x x x=a4 A5+b, A fiind un număr real liber ales, spre

exemplu A = ”an”. Rezolvare 1. Se verifică imediat, prin calcul direct:

x y=a(x-b)(y-b)+b=a(xy-bx-by+b2 )+b=axy-abx-aby+b(ab+1) 2. Justificarea bijectivităţii funcţiei f :RR, f(t)=a(t-b), este imediată, ca funcţie de

gradul întâi. Conform cu

Legi de compoziţie Bacalaureat 2014-2016

x y=a(x-b)(y-b)+b x y-b=a(x-b)(y-b)| a a(x y-b)=a(x-b) a(y-b) este chiar cerinţa, respectiv f(x y)=f(x) f(y).

3. Fie x H (x-b)0 şi y H (y-b)0 şi atunci (x-b)(y-b)0, dar cum a este constantă nenulă şi de semn prestabilit, apartenenţa a(x-b)(y-b)+b=x y H este justificată.

4. Variaţia funcţiei f :RR, f(t)=a(t-b), studiată anterior, arată imediat că restricţia f :H R*

+ este bijectivă. Tot din datele anterioare, este evident că H este parte stabilă a structurii (R; ) (item 3) şi că are loc proprietatea de morfism +(item 2), izomorfismul fiind astfel demonstrat.

5. Comutativitatea este imediată

6. Luând x y=a(x-b)(y-b)+b şi alegând x-b=2

3 şi y-b=

3

2, deoarece b Z, evident x,y Q\Z

şi x y=a+b Z.

7. Pe aceeaşi idee, alegând x-b= 2 -1 şi y-b= 2 +1, se va obţine x,y R\Q şi x y=a+b Z. Se observă că alegerea nu este unică, admiţând chiar o infinitate de posibilităţi.

8. Asociativitatea se demonstrează prin calcul

9. Din x y=a(x-b)(y-b)+b şi x e=x conduce la a(x-b)(e-b)+b=x din care se obţine 1

e ba

10. Dubla egalitate x x'=x' x=1

ba se reduce de fapt la x x'=

1b

a care se exprimă în

forma a(x-b)(x'-b)+b=1

ba , obţinând

2

1'x b

a x b

care este în mod evident din

R\{b}, justificând afirmaţia din item 10. 11. Structura (H; ) se dovedeşte grup comutativ, verificarea proprietăţilor fiind asigurată de

concluzii anterioare.

12. Cum 1 1

,e b x b x a A B Ca a

devine x x=a A B+C, adică a(x-

b)2+b=a ("an"-b-c)×("an"-b+c)+ac2+b. Observând diferenţa de pătrate, din a(x-b)2=a [("an"-b)2-c2]+ac2 se obţine (x-b)2=("an"-b)2 şi în final x="an", în condiţia alegerii evidente 2b-"an"<0<"an"-b.

13. Din x y=a(x-b)(y-b)+b se observă q=b cu proprietatea menţionată, x = x=. 14. Cum =b se regăseşte printre „factorii” ce compun expresia E , răspunsul la este

E==b. 15. Se obţine prin calcul folosind x y=a(x-b)(y-b)+b. 16. Ecuaţia ("an"x2-x+b) (x2-"an"x+b)=b devine ("an"x2-x)(x2-"an"x)=0 şi răspunsul va fi

10;"an";

"an"x

.

17. Ecuaţia devine (dx-|b| )(logd x-b ) "an" 1xC =0 , deci log ; ;0;"an"bdx b d .

18. Izomorfismul conduce imediat la 11 2

1

...n

nn k

k

x x x a x b b

şi astfel

identitatea 1...nn

de n ori

A A A a A b b

este evidentă.

Legi de compoziţie Bacalaureat 2014-2016

19. (b+1) (b+2) (b + 3) ... n=an-b-1 (n-b)!+b şi astfel se determină imediat răspunsul. 20. x x x x x=a4 (x-b)5+b şi a4 (x-b)5+b =a4 A5+b soluţia x=A+b. Exemplul (corespunzător alegerii a=1, b=5, c=5 şi d=2) Fie pe R operaţia x y=xy-5x-5y+30,x,y R. Se cere: 1) Să se arate că, x,y R, x y=(x-5)(y-5)+5; 2) Să se arate că f :RR, f(t)=t-5, este funcţie bijectivă, care verifică totodată f(x y)=f(x) f(y), x,y R. 3) Considerând H = (5;+ ), să se arate că, x,y H, are loc x y H; 4) Considerând H = (5;+ ), să se arate că f :HR+

*, f(t)=t-5, este izomorfism de la (H; ) la ( R*

+ ; ); 5) Să se arate că, x,y R, are loc x y = y x ; 6) Să se arate că x,y Q\Z încât x y Z; 7) Să se arate că x,y R\ Q încât x y Z; 8) Să se arate că, x,y,z R, are loc ( x y) z = x ( y z ) ; 9) Să se arate că e R încât x R verifică x e = e x = x ; 10) Să se arate că, x R\{ 5 }, x' R\{5} încât x x'=x' x=6; 11) Considerând H = (5;+ ), să se determine ce fel de structură este (H, ); 12) Să se rezolve ecuaţia x 6 x=1999 2009+30, x (0,+ ) ; 13) Să se arate că R încât x R verifică x = x = ; 14) Să se determine valoarea expresiei E=(-2009) (-2008) ... (-2) (-1) 0 1 2 ... 2008 2009; 15) Să se arate că, x,y,z R, x y z=(x-5)(y-5)(z-5)+5; 16) Să se rezolve în R ecuaţia (2009x2-x+5) (x2-2009x+5)=5; 17) Să se rezolve în R ecuaţia (2x) (log2x) (4+Cx

2009)=5; 18) Să se arate că 2009

2009

2009 2009 ... 2009 2004 5de ori

19) Să se determine cel mai mic număr n N*, cu proprietatea 6 7 8 ... n2009; 20) Să se rezolve în R ecuaţia x x x x x=20095+5 Rezolvare 1. Se calculează (x-5)(y-5)+5=xy-5x-5y+25+5=xy-5x-5y+30=x y 2. Funcţie de gradul I, bijectivă.

f(x y)=f((x-5)(y-5)+5)= (x-5)(y-5)+5-5=(x-5)(y-5)=f(x) f(y).

3. 5 5 05 5 0 5 5 5 5 5

5 5 0

x H x xx y x y

y H y y

x y>5 x y H 4. Calculând f ‘(t)=1>0 f este strict crescătoare pe (5, ) şi deci bijectivă pe (5, ).

Morfismul este demonstrat la itemul 2. 5. x y=xy-5x-5y+30=yx-5y-5x+30=y x

Legi de compoziţie Bacalaureat 2014-2016

6. Alegem x-5=2

3 şi y-5=

3

2 obţinem

2 175 \

3 3x Q Z şi

3 135 \

2 2y Q Z şi

calculăm 17 13 17 13 2 3

5 5 5 5 1 5 63 2 3 2 3 2

Z .

7. Alegem x-5= 2 -1 şi y-5= 2 +1 x= 2 +4 R\Q şi y= 2 +6 R\Q şi calculăm

2 4 2 6 2 4 5 2 6 5 5

2 1 2 1 5 2 1 5 6 Z .

8. Asociativitatea: ( x y) z=[(x-5)(y-5)+5] z=[(x-5)(y-5)+5-5](z-5)+5=(x-5)(y-5)(z-5)+5 x ( y z) =x [(y-5)(z-5)+5]=(x-5)[(y-5)(z-5)+5-5]+5=(x-5)(y-5)(z-5)+5

9. Elemental neutru x e=x xe-5x-5e+30=x xe-5e=6x-30 e(x-5)=6(x-5) e=6 H.

10. x x’=6 xx’-5x-5x’+30=6 xx’-5x’=5x-24 x’(x-5)=5x-24 5 5 15 24 5 25 1 1

' 5 55 5 5 5

xx xx

x x x x

x’ R\{5}

11. Din 5) H este parte stabilă, din 8) rezultă asociativitatea, din 9) elementul neutru, din 9) elementul simetric şi din 5) comutativitatea (H, ) formează o structură de grup comutativ.

12. x 6 x=(x-5)(6-5)(x-5)+5 şi obţinem (x-5)2+5=1994 2005+30 (x-5)2=(1999-5)(1999+5)+25 (x-5)2=19992-25+25 (x-5)2=19992 x+5= 1999 x1=1994 şi x2=-2004.

13. Determinăm pe astfel încât -5=0 =5. Verificăm: x 5=(x+5)(-5)+5=5. 14. Conform itemului 13) x 5=5 şi în şirul care se compune există numîrul 5, deci E=(-

2009) (-2008) ... (-2) (-1) 0 1 2 ... 2008 2009=5 15. Exprimarea de la acest punct s-a demonstrat la itemul 8). 16. (2009x2-x+5) (x2-2009x+5)=5 [(2009x2-x+5)-5][(x2-2009x+5)-5]+5=5 (2009x2-

x)( x2-2009x)=0 x(2009x-1)(x-2009)=0 1

0; ;20092009

x

.

17. Conform punctului 15) (2x) (log2x) (4+Cx

2009)= (2x-5)(log2x-5)(4+Cx2009-5)+5=5

2x-5=0 x1=log25 log2x-5=0 x2=25

2009 1 0xC 2009 1xC x3 =0 sau x4 =2009. 18. Generalizând punctul 8) se obţine

2009

2009 2009

2009 2009 ... 2009 2009 5 2009 5 ... 2009 5 5 2004 5de ori de ori

19. 6 7 8 ... n=(5+1-5) (5+2-5) (5+3-5) ... (n-5)+5=1 2 3 ... (n-5)+5=(n-5)!+5 se obţine (n-5)!+52009 (n-5)!2004. Ştim 6!=720 şi 7!=5040, deci n=7.

20. x x x x x=(x-5)(x-5)(x-5)(x-5)(x-5)+5=(x-5)5+5 (x-5)5+5 = 20095+5 (x-5)5=20095 x-5=2009 x=2014.

Legi de compoziţie Bacalaureat 2014-2016

Probleme propuse 1. Pe mulțimea numerelor reale se defineşte legea de compoziție x y 3xy 3x 3y 2.

a) Arătați că 1 11. b) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația xx x. c) Determinați perechile a,bde numerele întregi, ştiind că ab 8.

2. Pe mulțimea numerelor reale se defineşte legea de compoziție asociativă x y xy 3x 3y 6. a) Arătați că 0 33. b) Arătați că xy x 3y 33, pentru orice numere reale x şi y. c) Arătați că 3x 3, pentru orice număr real x. d) Verificați dacă e 2 este element neutru al legii de compoziție „”. e)Calculați 2016 2015 ... 3. f) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația xx x 5.

3. Pe mulţimea numerelor reale se defineşte legea de compoziţie asociativă x y xy x y 2 . a) Arătaţi că x y x 1y 11, pentru orice numere reale x şi y. b) Calculaţi 012 3. c) Determinaţi numerele reale a, ştiind că a a 2016 2016.

4. Pe mulţimea numerelor reale se defineşte legea de compoziţie asociativă x y 6xy 2x 2y 1.

a) Calculați 1

13

b) Determinaţi elementul neutru al legii de compoziţie „”.

c) Calculați 1 2 3 2016...

1008 1008 1008 1008

5. Pe mulţimea numerelor reale se defineşte legea de compoziţie x y xy x y. a) Calculaţi 22. b) Arătați că xy x 1y 11, pentru orice numere reale x şi y. c) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația x2 x 1. d) Verificați dacă legea de compoziţie „” este asociativă. e) Demonstraţi că numărul nn este multiplu de 8, pentru orice număr natural par n .

f) Dați un exemplu de două numere iraționale a şi b , pentru care abℕ. 6. Pe mulțimea numerelor reale se defineşte legea de compoziție asociativă

x y xy 4x 4y 20 . a) Arătați că x y x 4y 44, pentru orice numere reale x şi y. b) Calculați 12 32016. c) Determinaţi numerele naturale a, b şi c, ştiind că a b c şi a b c 66.

7. Pe mulțimea numerelor reale se defineşte legea de compoziție x y xy 2x 2y 2. a) Arătaţi că 1 22 . b) Demonstrați că xy x 2y 22 , pentru orice numere reale x şi y .

c) Determinați numerele reale nenule x, pentru care 1

x xx

Legi de compoziţie Bacalaureat 2014-2016

8. Pe mulțimea numerelor reale se defineşte legea de compoziție asociativă xy2xy10x10y45. a) Arătați că x y 2x 5y 55, pentru orice numere reale x şi y. b) Arătați că 1234 567 89 10 5. c) Determinaţi numerele naturale m şi n, pentru care mn 27.

9. Pe mulţimea numerelor reale se defineste legea de compoziţie dată de x y xy x y . a) Calculaţi 1 2015. b) Arătaţi că x y x 1y 11, pentru orice numere reale x si y. c) Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 3x 5x 1.

10. Pe mulţimea numerelor reale se defineste legea de compoziţie x y x y 2. a) Calculați 2 2 . b) Arătați că legea de compoziţie „” este asociativă. c) Verificaţi dacă e 2 este element neutru al legii de compoziţie „”. d) Determinaţi numărul real x, ştiind că x 1x 3. e) Rezolvaţi în mulțimea numerelor reale ecuaţia 9 3 0x x

f) Arătaţi că 22

10x

x pentru orice număr real nenul x.

11. Pe mulțimea numerelor reale se defineşte legea de compoziție asociativă x y xy 7x 7y 56 . a) Arătați că 77 7. b) Arătați că x y x 7y 77, pentru orice numere reale x şi y.

c) Calculați 12 3⋯2015. 12. Pe mulţimea numerelor reale se defineste legea de compoziţie asociativă

x y xy 3(x y) 12 . a) Arătaţi că x3 3x 3, pentru orice număr real x. b) Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia x x x. c) Calculaţi 12 ... 2014.

13. Pe mulţimea numerelor reale se defineste legea de compoziţie dată de x y x y 1. a) Calculaţi 2 3. b) Verificaţi dacă legea de compoziţie „” este comutativă. c) Arătaţi că legea de compoziţie „” este asociativă. d) Determinaţi numerele reale x pentru care 2 11x x e) Arătaţi că x x 2014x 1012 x 1012, pentru orice număr real x.

f) Determinaţi numărul real nenul x pentru care 1

1xx

14. Pe mulţimea numerelor reale se defineşte legea de compoziţie x y 2x y 1xy. a) Arătaţi că 12 2. b) Arătaţi că x 2 2 x 2 pentru orice număr real x. c) Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia x x x.

15. Pe mulțimea numerelor reale se defineşte legea de compoziție xy 2xy 3x 3y 6. a) Calculați 12.

Legi de compoziţie Bacalaureat 2014-2016

b) Arătaţi că3 3 3

22 2 2

x y x y

pentru orice numere reale x şi y.

c) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația x x 2. 16. Pe mulţimea numerelor reale se defineşte legea de compoziţie x y xy 5x5y 30.

a) Arătați că 15 5. b) Arătați că x y x 5y 55 pentru orice numere reale x şi y. c) Rezolvaţi în mulțimea numerelor reale ecuaţia x x x.

17. Pe mulţimea numerelor reale se defineşte legea de compoziţie asociativă x y 3x 3y xy 6 . a) Calculaţi 13. b) Arătaţi că x y 3 x 3y 3pentru orice numere reale x şi y. c) Determinaţi numerele reale x pentru care

2014...

x de ori

xx x x .

18. Pe mulţimea numerelor întregi se definesc legile de compoziţie x y x y 3 şi x y (x 3)y33. a) Să se rezolve în mulţimea numerelor întregi ecuaţia x x x x. b) Să se determine numărul întreg a care are proprietatea că x a 3, oricare ar fi numărul întreg x.

c) Să se rezolve sistemul de ecuaţii

1 4

1 5

x y

x y

, unde x, yZ.

19. Pe mulțimea numerelor reale se defineşte legea de compoziție asociativă x y = 2xy6x6y + 21 . a) Arătați că xy = 2(x3)( y3) + 3 , pentru orice numere reale x şi y . b) Arătați că 12 34 = 3. c) Determinați numerele reale x, pentru care x x x = x .

20. Pe mulţimea numerelor reale se defineşte legea de compoziţie x * y = x + y - 5. a. Arătaţi că (-2)* 7 = 0 . b. Arătaţi că legea de compoziție „*” este asociativă. c. Arătaţi că (1* 2)*(8*9) = (1*9)*(2 *8) . d. Determinaţi numărul real x , pentru care (x * x)* x = x . e. Determinaţi numărul real x, pentru care 9x *3x = 7 .

f. Demonstrați că 22

13x

x , pentru orice număr real nenul x .

Virgil-Mihail Zaharia